Las matrices de rotación definen algebraicamente lo que es una rotación en un espacio 3D considerando un angulo en el que está girando. Las matrices de rotación tienen unas propiedades que son importantes de notar:

  • Sus ejes de coordenadas son vectores ortogonales (forman un angulo de 90 grados entre ellos)
  • Su determinante es 1
  • Si se saca la normal de cualquier vector perteneciente a la matriz el resultado es 1 por lo que es una matriz unitaria
  • Al ser una matriz ortogonal su transpuesta es igual a su inversa

La matriz de rotación se denota de la siguiente manera:

matriz de rotacion

En la siguiente imagen se ejemplifica lo que hace una matriz de rotación, una vez proporcionado un angulo hace que el objeto rote la cantidad de grados dado en una dirección.
rotacion

Una vez presentada la matriz de rotación hay que hacerse una pregunta ¿Para qué usarlo en la robótica?, la respuesta a esta pregunta es que la matriz de rotación define los movimientos de objetos rígidos, por lo que es ideal para su uso en la robótica. Dentro de la robótica podemos pensar que un objeto puede girar sobre diferentes ejes, prácticamente siempre en 3D, por lo que podemos introducir dos nuevos conceptos el de marco global y el de marco de referencia.

El marco global es el punto en donde comienza o está su robot y el marco de referencia es con respecto a que esta girando de manera que se puede obtener coordenadas con respecto a cualquiera de estos dos marcos. En pocas palabras dan posición del robot. Para obtener estas coordenadas se usan transformaciones que involucran a la matriz de rotación.

la matriz de transformación de coordenadas Globales a un punto P(u,v,w) depende de el eje sobre el cual está girando el robot, abajo pueden ver la transformación girando sobre los ejes X,Y y Z:

Rotacion a lo largo del eje X

Rotacion a lo largo del eje Y

Rotacion a lo largo del eje Z

Como habíamos dicho la matriz de rotación es unitaria or lo tanto su transformación también lo es por lo que su transpuesta es igual a su inversa por lo que:

transformacion de locales a globales

Al despejar R obtenemos 1/R pero sabemos que en matrices (1/matriz) es igual a la inversa de la matriz, recordando que la inversa de esta matriz es su transpuesta obtenemos:
Locales a globales final

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